Power Law (Potenzgesetz)

Das Power Law, auch als Potenzgesetz bekannt, beschreibt eine fundamentale mathematische Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine relative Änderung der einen Größe zu einer proportionalen relativen Änderung der anderen Größe führt.

Mathematische Definition

Die Grundformel lautet Y = kXᵅ, wobei:

• X und Y die betrachteten Variablen sind
• α der Exponent des Gesetzes ist
• k eine Konstante darstellt1

Praktische Beispiele

In der Wirtschaft und Gesellschaft

• Die Verteilung von Einkommen und Vermögen
• Die Größe von Unternehmen
• Handelsvolumina an der Börse

In der Natur

• Die Stärke von Erdbeben
• Die Größe von Städten nach Einwohnerzahl
• Die Häufigkeit von Wörtern in Texten

Bedeutung für die Börse

An den Finanzmärkten zeigt sich das Power Law besonders deutlich: In den USA erwirtschaften nur 30 Unternehmen etwa 50 Prozent aller Gewinne. Diese Konzentration hat sich über die Jahre verstärkt - 1975 waren es noch 130 Unternehmen.

Pareto-Prinzip als Spezialfall

Eine bekannte Ausprägung des Power Laws ist das Pareto-Prinzip (80-20-Regel):

• 80% der Effekte entstehen aus 20% der Ursachen
• 80% der Arbeit wird in 20% der Zeit erledigt

Vorteile

• Ermöglicht präzise Vorhersagen in komplexen Systemen
• Hilft bei der Identifizierung von Mustern und Gesetzmäßigkeiten
• Bietet eine mathematische Grundlage für Skaleneffekte

Nachteile

• Nicht auf alle Systeme anwendbar
• Kann zu Übervereinfachungen komplexer Zusammenhänge führen
• Die Vorhersagekraft nimmt bei extremen Werten ab

Eine besondere Eigenschaft des Power Laws ist seine Skaleninvarianz: Die Beziehung zwischen den Größen bleibt unabhängig von der absoluten Größenordnung konstant. Dies macht es zu einem wichtigen Werkzeug für die Analyse von Systemen unterschiedlichster Größenordnungen.

Anwendung des Power Laws bei ETFs

Das Power Law lässt sich im ETF-Markt in verschiedenen Dimensionen beobachten:

Konzentration der Gewinne

Bei ETFs, die große Indizes abbilden, zeigt sich das Power Law besonders deutlich in der Gewinnverteilung der enthaltenen Unternehmen. In den USA erwirtschaften nur 30 Unternehmen etwa 50% aller Gewinne, während es 1975 noch 130 Unternehmen waren.

Performance-Unterschiede

Marktbreite ETFs

• Die Gesamtkosten liegen bei marktbreiten Aktien-ETFs zwischen 0,4% und 0,9% pro Jahr
• Bei ETFs auf den MSCI World betragen sie etwa 0,75%
• Bei Staatsanleihen-ETFs sind die Kosten mit 0,2% bis 0,4% geringer

Tracking-Differenzen

Auch bei der Abbildungsgenauigkeit von ETFs zeigt sich eine Power-Law-Verteilung:

• Einige wenige ETFs schaffen es, ihren Index zu übertreffen
• Der HSBC MSCI World lag in den letzten zehn Jahren durchschnittlich 0,11 Prozentpunkte über dem Index
• Die Mehrheit der ETFs bleibt jedoch hinter der Index-Performance zurück

Aktiv vs. Passiv

Die Power-Law-Verteilung wird auch im Vergleich zu aktiven Fonds deutlich:

• Nur 17,1% der aktiven Aktienmanager
• Und 23,1% der aktiven Rentenmanager
  schafften es in den letzten zehn Jahren, ihre passive ETF-Alternative zu übertreffen.

Diese Verteilungsmuster bestätigen, dass das Power Law auch im ETF-Bereich wirkt, wenn auch weniger ausgeprägt als bei einzelnen Aktien oder in anderen Marktsegmenten.

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